Complexe Functietheorie

In dit college wordt de theorie van analytische functies geïntroduceerd. Een analytische functie is een complexwaardige functie gedefinieerd op een open deel van het complexe vlak, die op zijn domein (complex) differentieerbaar is. In tegenstelling tot functies van een reële variabele, heeft alleen het bestaan van een complexe afgeleide sterke implicaties voor de eigenschappen van de functie. Centraal in het college staat de Cauchy-integraalrepresentatie van analytische functies. Deze representatie drukt de waarde van een analytische functie binnen een cirkel uit in waarden op deze cirkel. De representatie stelt ons in staat om tal van fraaie eigenschappen van analytische functies af te leiden.

De algemene doelen van het vak zijn:

• Basisbegrippen uit de reële analyse kunnen uitbreiden tot complexwaardige functies van een complexe variabele en de belangrijkste verschillen en overeenkomsten van Reële en Complexe Analyse kunnen aangeven.

• Analytische vaardigheden hebben verworven om bij problemen van uiteenlopende aard uit de mathematische fysica, systeemtheorie, signaalanalyse, de toepasbare methoden van de complexe analyse te kunnen uitkiezen om het probleem op te lossen en de synthetische vaardigheden bezitten om deze keuze om te zetten in een oplossingsstrategie voor het gegeven probleem.

De volgende onderwerpen komen aan de orde:

1. De elementaire complexe functies en hun eigenschappen: de exponentiële functie, trigonometrische functies en logaritmes

2. Analytische functies, Cauchy-Riemann vergelijkingen, harmonische functies

3. De integraalformule van Cauchy met toepassingen, zoals de stelling van Liouvilles.

4. Macht- en Laurentreeksen

5. Classificatie van geïsoleerde singulariteiten

6. De Residuenstelling.