Lineaire Algebra 1

Vectoren zijn bekend: ze worden vaak gerepresenteerd als pijltjes die een grootte en richting aangeven en ze kunnen opgeteld en/of met een getal vermenigvuldigd worden.

Het vak lineaire algebra bestudeert vectoren. In eerste instantie wordt een andere representatie van pijltjes behandeld, waardoor het rekenen met vectoren eenvoudig wordt. Een van de voordelen van deze representatie is dat het algemener kan. Dit leidt tot de introductie van de vectorruimte R^n. Al snel zal gezien worden dat het nog algemener kan: functies bijvoorbeeld kunnen ook als vectoren gezien worden, en ook kan gerekend worden over bijvoorbeeld de complexe getallen. Het begrip vectorruimte beschrijft dit alles.

We zullen bestuderen wanneer en hoe vectorruimten (of deelruimten van vectorruimten) met eindig veel vectoren beschreven kunnnen worden. Centrale begrippen hierbij zijn onafhankelijkheid, basis en dimensie. Hét middel om hieraan te rekenen is het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen.

Aan de hand van de oplosmethode voor deze stelsels worden matrices geintroduceerd. Later zal blijken dat dit eigenlijk representaties zijn van zogenaamde lineaire afbeeldingen tussen eindig dimensionale vectorruimten. Nadat deze afbeeldingen geïntroduceerd zijn en we nagedacht hebben hoe we het beeld en eigenschappen als injectivieteit, surjectiviteit en inverteerbaarheid kunnen onderzoeken, zullen we zien hoe we met matrices kunnen gerekenen: optellen, scalair vermenigvuldigen, vermenigvuldigen en transponeren zijn operaties die je onder de knie moet gaan krijgen. Ook moet je weten wat het betekent dat matrices inverteerbaar zijn en hoe je de inverse van een matrix kunt berekenen en wat dit met de bijbehorende lineaire afbeelding te maken heeft.

De representatie van een lineaire afbeelding als matri hangt af van de basis die gekozen wordt voor het domein van de afbeelding. We zullen de verbanden tussen deze diverse representaties bestuderen. Deze hebben te maken met zogenaamde coordinatentransformaties.

Een ander begrip (dat zowel een meetkundige als algebraische interpretatie heeft) is de determinant van een vierkante matrix. Dit is bijvoorbeeld een maat voor de volumevergroting bij lineaire afbeeldingen, maar het geeft ook aan of een matrix (of lineaire afbeelding) inverteerbaar is of niet.

De cursus wordt geeindigd met de begrippen rang, kolomruimte, rijruimte en nulruimte van een matrix.

De lineaire algebra kent vele toepassingen zowel in de fundamentele wiskunde (algebra, kansrekening) als de toegepaste wiskunde (differntiaalvergelijkingen, numerieke wiskunde, statistiek, systeemtheorie) en natuurkunde (quantummechanica). Het is daarom een van de belangrijke basisvakken voor de opleiding.